Die heilige Zahl ,,142857,,

142857

142857 sind die sechs sich wiederholenden Ziffern eines Siebtels: .

142857
142857
Darstellung
Dual 10 0010 1110 0000 1001
Oktal 42 7011
Duodezimal 6 A809
Hexadezimal 2 2E09
Morsecode · – – – –  · · · · –  · · – – –  – – – · ·  · · · · ·  – – · · · 
Mathematische Eigenschaften
Vorzeichen positiv
Parität ungerade
Teiler 1, 3, 9, 11, 13, 27, 33, 37, 39, 99, 111, 117, 143, 297, 333, 351, 407, 429, 481, 999, 1221, 1287, 1443, 3663, 3861, 4329, 5291, 10989, 12987, 15873, 47619, 142857
Faktorisierung 33 × 11 × 13 × 37

Die Zahl Hundertzweiundvierzigtausendachthundertsiebenundfünfzig (dezimal 142.857) ist im Dezimalsystem die bekannteste zyklische Zahl.[1][2][3][4] Wird sie mit 2, 3, 4, 5 oder 6 multipliziert, so ist das Ergebnis eine zyklische Permutationihrer selbst und wird den sich wiederholenden Ziffern von 2/7, 3/7, 4/7, 5/7 bzw. 6/7 entsprechen.

Sechsstellige Zahlen mit gleichen Eigenschaften gibt es auch in anderen Basen, gegeben durch (Basis6 − 1)/7. Beispiele sind 186A35 im Duodezimalsystem und 3A6LDH im Quadrivigesimalsystem (Basis 24).

142.857 ist außerdem die 25. Kaprekar-Zahl und eine Harshad-Zahl (teilbar durch ihre Quersumme; beides im Dezimalsystem).[5]

RechenbeispieleBearbeiten

1 × 142.857 = 142.857
2 × 142.857 = 285.714
3 × 142.857 = 428.571
4 × 142.857 = 571.428
5 × 142.857 = 714.285
6 × 142.857 = 857.142
7 × 142.857 = 999.999

Wenn man mit einer ganzen Zahl größer sieben multipliziert, gibt es eine einfache Methode, um zu einer zyklischen Permutation von 142857 zu kommen: Indem man die sechs rechten Ziffern, also Einer bis Hunderttausender, zu den übrigen Ziffern addiert und diesen Vorgang wiederholt, bis weniger als sechs Ziffern übrigbleiben, wird man zu einer zyklischen Permutation von 142857 gelangen.

142857 × 8 = 1142856
1 + 142856 = 142857
142857 × 815 = 116428455
116 + 428455 = 428571
1428572 = 142857 × 142857 = 20408122449
20408 + 122449 = 142857

Multiplikation mit einem Vielfachen von 7 wird durch diesen Prozess 999999 ergeben.

142857 × 74 = 342999657
342 + 999657 = 999999

Wenn man die letzten drei Ziffern quadriert und das Quadrat der ersten drei Ziffern subtrahiert, wird man ebenfalls eine zyklische Permutation der Zahl erhalten.

8572 = 734449
1422 = 20164
734449 − 20164 = 714285

Dies ist der sich wiederholende Teil in der Dezimalexpansion (Repräsentation im Dezimalsystem) der rationalen Zahl {\displaystyle 1/7=0,{\overline {142\,857}}}. Daher sind Vielfache eines Siebtels nur wiederholte Kopien der entsprechenden Vielfachen von 142857.

1 ÷ 7 = 0,142857
2 ÷ 7 = 0,285714
3 ÷ 7 = 0,428571
4 ÷ 7 = 0,571428
5 ÷ 7 = 0,714285
6 ÷ 7 = 0,857142
7 ÷ 7 = 0,999999 = 1
8 ÷ 7 = 1,142857
9 ÷ 7 = 1,285714
usw. …

1/7 als unendliche SummeBearbeiten

Es gibt Strukturen, die mit Hilfe von Dopplung, Verschiebung und Addition 1/7 als unendliche Summe darstellen.

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